2 Poutre simple
On étudie une poutre métallique posée sur deux appuis simples à ses extrémités et soumise à une force linéique, selon le schéma ci-dessous.
On cherche à déterminer trois choses à propos de cette poutre:
- Les efforts internes dans toute la poutre, en particulier l’effort tranchant maximal, le moment de flexion maximal et les positions où se produisent ces efforts.
- La contrainte longitudinale dans toute la poutre, en particulier la contrainte longitudinale maximale et l’endroit où elle se produit.
- Le déplacement transverse (la flèche) dans toute la poutre, la flèche maximale et l’endroit où elle se produit.
La poutre est en acier, avec les propriétés suivantes:
| \(E\) | \(\rho\) | \(\nu\) |
|---|---|---|
| 200 GPa | 7800 kg/m³ | 0.3 |
La section de la poutre est carrée de hauteur \(h\) = 5 cm. On a aussi \(L\) = 2 m et \(q\) = 3 kN/m.
Avant de se lancer dans les calculs, on essaye de répondre intuitivement aux questions suivantes:
- Que peut-on dire a priori sur les réactions d’appui ?
- Peut-on utiliser le modèle d’Euler-Bernoulli pour résoudre le problème ? Pourquoi ?
- Comment évolue l’effort tranchant le long de la poutre ? Où est son maximum ?
- Comment évolue le moment de flexion le long de la poutre ? Où est son maximum ?
- Où se situe la flèche maximale ?
Pour résoudre le problème, on va suivre la méthodologie suivante:
- Calculer les réactions d’appuis.
- Déterminer l’expression des efforts internes (avec le signe) aux limites (extrémités) de la poutre.
- Calculer les efforts internes (tranchant et moment de flexion) en tout point de la poutre. Tracer les efforts internes.
- Calculer la contrainte longitudinale en tout point de la poutre.
- Calculer la rotation et la flèche en tout point de la poutre. Tracer la rotation et la flèche.
Solution
Intuitivement
La seule force externe vient de la résultante de la force linéique \(F = qL\), exercée vers le bas. Comme le problème est symétrique par rapport à la verticale passant par \(x = L/2\), les deux réactions d’appuis sont égales, et pour satisfaire l’équilibre on a \(R = qL/2\) (à vérifier par le calcul), qui s’exerce vers le haut.
La poutre est clairement en flexion, et l’élancement est de \(L / h = 40 \gg 1\), il semble donc raisonnable d’utiliser le modèle d’Euler–Bernoulli.
Pour l’évolution de l’effort tranchant et du moment de flexion, on fait appel aux équations d’équilibre local des poutres:
\[ \left\{\begin{aligned} \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} + q_y & = 0\\ \frac{\mathrm dM}{\mathrm dx} + T & = 0\end{aligned}\right. \tag{2.1}\]
Puisque la charge répartie est constante, \(T(x)\) est une function affine. On sait que les deux réactions d’appuis sont égales et vers le haut. D’après la convention de signe positif pour les efforts internes, cela veux dire que :
\[\begin{aligned}T(0) & = -\frac{qL}{2}\\ T(L) & = \frac{qL}{2}\end{aligned}\]
On peut directement tracer l’allure de l’effort tranchant.
Puisque l’effort tranchant est affine, l’équilibre local indique que le moment de flexion doit être quadratique (une parabole). On sait également que les deux appuis ne bloquent pas la rotation : le moment de flexion est donc nul aux deux extrémités.
En imaginant la déformée de la poutre, on se rend compte que la fibre supérieure de la poutre est comprimée et que la fibre inférieure est tendue. D’après la convention de signe positif des efforts internes, le moment de flexion est positif. On sait aussi que l’effort tranchant est nul en \(x = L/2\), donc le moment est maximal en ce point. On peut alors faire l’esquisse.
Pour calculer la valeur maximale du moment, on peut faire une coupe en \(x = L/2\) et calculer par équilibre la valeur du moment de flexion (on fera le calcul détaillé dans la partie résolution).
Intuitivement, à cause de la symétrie du problème, on peut dire que la flèche maximale (le déplacement vertical maximal) se trouve en \(x = L/2\).
Avertissement
Il peut arriver de commettre des erreurs de raisonnement dans la partie intuitive, c’est pour cela qu’il faut quand même faire la résolution méthodique et confronter les résultats à l’intuition.
Résolution
Comme pour le TD précédent, il faut extérioriser les réactions d’appui. Faisons un bilan des degrés de liberté bloqués.
| Position | \(u_x\) | \(u_y\) | \(\theta_z\) |
|---|---|---|---|
| \(x = 0\) | fixe | fixe | libre |
| \(x = L\) | libre | fixe | libre |
On a un effort de réaction pour chaque degré de liberté bloqué. On note donc \(A_x\) et \(A_y\) les réactions de l’appui en \(x = 0\) et \(B\) la réaction verticale de l’appui en \(x = L\).
<dessin>
On pose l’équilibre avec somme des moments en A, puisque les moments de \(A_x\) et \(A_y\) par rapport à A sont nuls:
\[\begin{aligned} \sum F_x = 0 &\Leftrightarrow\quad A_x = 0\\ \sum F_y = 0 & \Leftrightarrow A_y + B - Q = 0\\ \sum M(\text{en A}) = 0 &\Leftrightarrow -Q\frac{L}{2} + B\cdot L = 0\end{aligned}\]
La résolution donne \(A_y = B = \frac{Q}{2} = \frac{qL}{2}\). Les deux valeurs de \(A\) et \(B\) sont positives, ce qui veut dire que le vrai sens des réactions est celui qu’on a dessiné ci-dessus. On redessine la poutre avec le vrai sens et sans les résultantes pour faire l’analyse de l’équilibre local.
Méthode : équations différentielles
On se sert de l’Équation 2.1 pour trouver l’effort tranchant \(T(x)\) et le moment de flexion \(M(x)\). Il faut en premier lieu déterminer le signe de \(q_y\). Ici la force \(q\) s’exerce dans le sens opposé à l’axe \(y\), donc \(q_y = -q\), et:
\[T(x) = qx + C_T\]
Pour déterminer la constante d’intégration \(C_T\), on peut se servir des conditions limites en \(A\) ou \(B\) (et vérifier avec l’autre condition limite).
<dessin>
En \(x = 0\) (au point \(A\)), la réaction d’appui est dans le sens opposé à la convention de signe pour \(T\) sur une face négative, donc :
\[T(0) = -A_y \quad\Leftrightarrow\quad C_T = -\frac{qL}{2}\text{ et }T(x) = q\left(x - \frac{L}{2}\right)\]
On peut vérifier que \(T(L) = qL/2 = B\) qui est bien l’autre condition limite.
En utilisant la seconde équation d’équilibre local, on obtient le moment de flexion :
\[M(x) = q\left(\frac{Lx}{2} - \frac{x^2}{2}\right) + C_M = \frac{q}{2} x(L - x) + C_M\]
Les rotations sont libres aux deux extrémités de la poutre, on a donc comme conditions limites \(M(0) = 0\) et \(M(L) = 0\), ce qui donne \(C_M = 0\) et :
\[M(x) = \frac{q}{2}x(L - x)\]
Méthode : coupe + équilibre
On effectue une coupe à une distance \(x\) du point \(A\) et on isole les deux morceaux de la structure. Pour restaurer l’équilibre il faut extérioriser les efforts internes \(T(x)\) et \(M(x)\) en suivant la convention de signe positif.
<dessin>
On peut maintenant choisir de faire l’équilibre de l’un des deux morceaux (ou vérifier nos calculs en faisant les deux). Prenons le morceau gauche. Puisque nous faisons l’équilibre global du morceau, nous avons le droit de remplacer la force linéique par sa résultante \(q\cdot x\), qui s’applique en \(x/2\). L’équilibre avec la somme des moments en \(A\) donne:
\[\begin{aligned} & \left\{\begin{aligned} \sum F_y = 0 & \Leftrightarrow A_y -qx + T(x) = 0 \\ \sum M(\text{en A}) = 0 & \Leftrightarrow -qx\cdot \frac{x}{2} + T(x)\cdot x + M(x) = 0 \end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{aligned} T(x) & = qx - A_y = q\left(x - \frac{L}{2}\right)\\ M(x) & = -q\left(x^2 - \frac{Lx}{2}\right) + \frac{1}{2} qx^2 = \frac{q}{2} x\left(L - x\right)\end{aligned}\right.\end{aligned} \]