5 Barre soumise à un chargement complexe
On cherche dans ce TD à caractériser la réponse mécanique d’un outil d’estampage, de longueur \(L\). L’outil est modélisé par une barre de section carrée. L’effort subi par la pièce lors de l’emboutissage est décrit par une pression s’exerçant sur deux des faces de la barre, comme illustré sur la figure ci-dessous.
Les efforts surfaciques sur les bords BC et CD évoluent linéairement le long de ces bords. On néglige les effets de la pesanteur. L’origine du repère \((e_1,e_2)\) est prise en A. Le déplacement vertical est bloqué sur le bord AD, le déplacement horizontal est bloqué sur le bord AB. La structure est constituée d’un matériau élastique homogène linéaire isotrope de module de Young \(E\) et de coefficient de Poisson \(\nu\). Les données du problème sont :
| \(E\) | \(\rho\) | \(\nu\) | \(L\) | \(H\) | \(p\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 210 GPa | 7800 kg/m³ | 0.3 | 1 m | 10 cm | 200 MPa |
On cherche à déterminer :
- le tenseur complet des contraintes dans toute la barre ;
- le champ de déplacement dans la barre ;
- la déformée de la structure.
Comme dans le problème précédent, nous allons pour cela dérouler la démarche de résolution d’un problème d’élasticité plane telle que vue en cours :
- Choix d’un état plan d’élasticité : quelle est l’hypothèse adaptée au problème étudié ?
- Choix d’une fonction d’Airy : on se donne une fonction polynomiale d’ordre 3 \(\phi\) telle que \[ \phi(x_1, x_2) = ax_1^2 + b x_1 x_2 + c x_2^2 + d x_1^3 + e x_1^2 x_2 + f x_1 x_2^2 + gx_2^3 \] Vérifiez la biharmonicité de cette fonction.
- Calcul du tenseur des contraintes : Calculez les composantes du tenseur des contraintes en fonction des paramètres de la fonction d’Airy.
- Utilisation des CL en effort : Déterminez ces paramètres en fonction des données du problème.
- Calcul de la déformation : Déterminez le tenseur de déformation en tout point de la poutre.
- Calcul du déplacement : En déduire que le champ de déplacement peut s’écrire \[ u_1(x_1,x_2) = \frac{p_1 x_1 x_2}{EH} - \frac{\nu p_2 x_1^2}{2EH} + m(x_2) \] \[ u_2(x_1,x_2) = \frac{p_2 x_1 x_2}{EH} - \frac{\nu p_1 x_2^2}{2EH} + n(x_1) \] où \(m\) et \(n\) sont deux fonctions à déterminer dans la question suivante.
- Utilisation des CL en déplacement : Identifiez l’expression des fonctions \(m\) et \(n\) en utilisant les conditions aux limites en A ainsi qu’une condition en G que l’on proposera.
La détermination de ces quantités nous permet de nous intéresser plus en détails au problème étudié :
- On fait une coupe le long de BD, de normale extérieure \(n = (1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{2})\). Exprimer le vecteur contrainte \(T\) en G. Décrire l’état de contrainte correspondant.
- On rappelle que la variation relative de volume du matériau est telle que \(\Delta V/V_0 = trace(\varepsilon)\). Exprimer cette variation en fonction du module d’incompressibilité \(K=\frac{1}{3} \frac{E}{1-2\nu}\) et des données du problème.
- Application numérique : donner la valeur de \(u_2\) au point C.