1 Barre verticale soumise à la pesanteur
On étudie une barre métallique suspendue à une extrémité et soumise à son poids propre, selon le schéma ci-dessous.
On cherche à déterminer deux choses à propos de cette barre:
- L’état de contrainte dans toute la barre, et en particulier la contrainte maximale (en valeur absolue) et l’endroit où se produit la contrainte maximale
- Le déplacement longitudinale dans toute la barre, le déplacement maximal en valeur absolue et l’endroit où se produit le déplacement maximal
La barre est en acier, avec les propriétés suivantes:
| \(E\) | \(\rho\) | \(\nu\) |
|---|---|---|
| 210 GPa | 7800 kg/m³ | 0.3 |
Avant de se lancer dans les calculs, on essaye de répondre intuitivement aux questions suivantes:
- Comment varie l’effort normal le long de la poutre ?
- Où se produit l’effort normal maximal ?
- Quelle est la valeur supposée de cet effort ?
- Où se produit le déplacement longitudinal maximal?
Pour résoudre le problème, on va suivre la méthodologie suivante:
- Calculer la force linéique (force par unité de longueur) due au poids propre que subit la barre.
- Calculer la réaction d’appui à l’extrémité de la barre.
- Calculer l’effort normal en tout point de la barre. En déduire les contraintes. Tracer l’effort normal.
- Calculer le déplacement longitudinal en tout point de la barre.
Solution
Intuitivement
Pour connaître l’évolution de l’effort normal, il faut mentalement couper la structure en deux morceaux et se poser la question “quelle est la force qu’un morceau exerce sur l’autre ?” Ici le morceau du haut subit tout le poids du morceau du bas: on sent donc que l’effort normal va être le plus élevé proche de l’ancrage de la barre.
Pour aller plus loin, il faut guider l’intuition par les mathématiques: l’équation d’équilibre locale pour l’effort normal \(N\) est
\[ \frac{\mathrm dN}{\mathrm dx} + q_x(x) = 0 \tag{1.1}\]
La barre a une aire et une densité constante par rapport à \(x\), donc \(q_x(x)\), la masse linéique de la barre, est constante. Donc \(N(x)\) est une fonction affine.
Puisque l’extrémité \(x = L\) est libre, on a \(N(L) = 0\). En \(x = 0\), l’effort normal est égal au poids total de la barre. On voit intuitivement que l’effort est un effort de traction, donc \(N(x)\) est positif. On peut déjà dessiner le diagramme d’effort normal.
Pour le déplacement, on a la condition que celui-ci est nul en \(x = 0\). On garde en tête la relation entre déplacement et effort normal:
\[ N(x) = EA \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} \tag{1.2}\]
Le déplacement est maximal à potentiellement deux endroits:
- Les extrémités: \(x = L\) est donc un candidat pour le déplacement maximal
- Les endroits où \(N(x) = 0\). C’est le cas pour \(x = L\).
On s’attend donc à avoir le déplacement maximum en \(x = L\), ce qui est intuitivement logique : la déformation s’accumule de l’appui jusqu’à l’extrémité.
Résolution
Pour calculer la force linéique due au poids propre de la barre, on considère une tranche de longueur \(\mathrm dx\) de la barre. Son poids est (en valeur absolue):
\[ \mathrm dP = g\mathrm dm = \underbrace{g \rho A }_{\text{force linéique}} dx = |q_x| \mathrm dx\]
On peut vérifier par analyse dimensionnelle:
\[\mathrm {m \cdot s^{-2} \cdot kg \cdot m^{-3} \cdot m^2} = \mathrm{N \cdot m^{-1}} = [\text{force linéique}]\]
Pour calculer la réaction d’appui de l’encastrement, il faut extérioriser la réaction, c’est à dire dessiner la structure libre de tout appui, où pour satisfaire l’équilibre on a introduit les efforts de réaction des appuis. On remplace également les forces réparties (linéiques) par leur résultantes, ici \(P = \rho g AL\).
Le sens des efforts importe peu, tant que l’on respecte le dessin. On pose ensuite l’équilibre global de la structure. On choisit un point pour faire la somme des moments. N’importe quel point fait l’affaire, alors on peut choisir un point qui nous arrange. Ici peut importe, on prends arbitrairement \(x = 0\).
\[ \begin{aligned} \sum F_x & = 0\\ \sum F_y &= 0 \\ \sum M(\text{en }x = 0) &= 0\end{aligned}\]
Puisque toutes les forces s’exercent selon \(x\), seule la première équation est importante. Selon notre dessin, la résultante du poids propre a le même signe que la convention d’axe pour \(x\), on lui donne donc un signe positif. En revanche, nous avons dessiné la réaction d’appui dans le sens opposé à la convention d’axe, il faut donc donner un signe négatif.
\[ P - R = 0\quad\Leftrightarrow\quad R = P\]
Nous avons trouvé \(R\) positif (car \(P\) est positif), ce qui signifie que le sens de la réaction d’appui que nous avons dessiné plus haut est le vrai sens de la réaction d’appui.
Exercice supplémentaire
Refaire le calcul de la réaction d’appui en changeant la convention d’axe pour \(x\) et le sens initialement dessiné pour \(R\). On doit trouver \(R = -P\), ce qui signifie que le vrai sens est l’inverse de celui dessiné.
On refait un dessin avec le vrai sens des réactions d’appuis et sans les résultantes.
À présent, nous avons toutes les informations pour déterminer \(N(x)\) dans toute la barre. Nous allons nous servir de l’Équation 1.1. Pour pouvoir l’appliquer correctement, il faut impérativement vérifier le signe de \(q_x\). Ici le poids propre a le même sens que la convention d’axe \(x\), donc \(q_x = +\rho g A\).
Comme \(q_x\) est constant, \(N(x)\) est sa primitive et :
\[N(x) = -\rho g A x + C_N,\]
où \(C_N\) est une constante d’intégration qu’il faut déterminer par une condition limite. Ici on a une constante et deux conditions limites. On peut donc utiliser une condition pour déterminer \(C_N\) et une autre condition pour valider.
Prenons la condtion en \(x = 0\). L’extrémité de la barre est soumise à la réaction d’appui \(R = \rho g A L\), mais on ne sais pas si \(N(0) = |R|\) ou si \(N(0) = -|R|\). Pour résoudre cette question on peut faire deux raisonnements :
- On sait intuitivement que la barre est en traction à l’appui, ce qui signifie que l’effort normal est positif. Donc \(N(0) = R\).
- Le vrai sens de \(R\) est vers l’extérieur de la barre, qui est le même sens que la convention pour \(N\) positif, donc \(N(0) = R\).
Cela nous donne \(C_N = R = \rho g A L\), et :
\[ N(x) = \rho g A (L - x) \]
On peut vérifier la condition de bord libre : \(N(L) = 0\).
Exercice supplémentaire
Inverser le rôle des conditions limites : trouver \(C_N\) avec le bord libre et vérifier la condition à l’appui.
Pour calculer le déplacement, nous devons faire appel à l’Équation 1.2. Puisque \(N(x)\) est affine, on attend que \(u(x)\) soit quadratique.
\[u(x) = \frac{\rho A g}{EA}\left(Lx - \frac{x^2}{2} + C_u\right), \]
où \(C_u\) est une constante d’intégration à déterminer avec une condition limite. Ici la seule condition sur \(u\) est en \(x = 0\):
\[ u(0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad C_u = 0\quad\Rightarrow\quad u(x) = \frac{\rho g}{E}\left(Lx - \frac{x^2}{2}\right).\]
Note
On a choisit de mettre \(C_u\) “dans la parenthèse”, on aurait aussi pu écrire:
\[ u(x) = \frac{\rho A g}{EA}\left(Lx - \frac{x^2}{2}\right) + C'_u, \]
Les deux façons de faire sont valides, mais la première simplifie souvent les calculs quand les constantes sont non-nulles.
Réponse aux objectifs
La contrainte longitudinale se détermine à partir de l’effort normal :
\[ \sigma_{xx} = \frac{N(x)}{A} = \rho g(L - x) \]
La contrainte maximale est donc \(\sigma_\text{max} = \rho g L\) (on peut vérifier que c’est bien une contrainte par analyse dimensionnelle).
Le déplacement maximal se produit en \(x = L\), et
\[u_\text{max} = \frac{\rho gL^2}{2E}\]
Les applications numériques donnent, pour \(L\) = 1m:
\[\begin{aligned} u_\text{max} & = \frac{7800\,\mathrm{kg}\cdot \mathrm m^{-3} \times 9.81\, \mathrm{N \cdot kg^{-1}} \times (1\,\mathrm m)^2}{2\times 210\, \mathrm {GPa}}\\ & = \frac{7.8\times 9.81}{2} \times \frac{10^3\,\mathrm{N\cdot m^{-1}}}{10^9\,\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}^{-2}} = (3.9\times 9.81) \cdot 10^{-6}\,\mathrm m \\ & \approx 38\, \mathrm{µm}\\ \sigma_\text{max} & = 7800\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\times 9.81\,\mathrm{N\cdot kg^{-1}} \times 1\,\mathrm{m}\\ & \approx 77\,\mathrm{kPa} \end{aligned}\]