4 Barre verticale soumise à la pesanteur
On étudie la même barre métallique qu’à l’exercice 1.
On cherche à déterminer deux choses à propos de cette barre:
- Le tenseur complet des contraintes dans toute la barre.
- Le vecteur déplacement dans toute la barre.
- À quel point la solution calculée approxime la solution exacte du problème.
La barre est en acier, avec les propriétés suivantes:
| \(E\) | \(\rho\) | \(\nu\) |
|---|---|---|
| 210 GPa | 7800 kg/m³ | 0.3 |
Avant de se lancer dans les calculs, on se remémore les calculs faits à l’exercice 1, qui vont permettre de vérifier l’approche 2D. On vérifie également quelle hypothèse 2D s’applique à l’analyse de la barre.
Pour résoudre le problème, on va suivre la méthodologie suivante:
- On écrit, si possible, les conditions limites sur le tenseur des contraintes pour chaque bord de la barre.
- On fixe une fonction de Airy polynomiale d’ordre 3. \[ \phi(x_1, x_2) = ax_1^2 + b x_1 x_2 + c x_2^2 + d x_1^3 + e x_1^2 x_2 + f x_1 x_2^2 + hx_2^3 \] On vérifie que cette fonction est bien bi-harmonique.
- On calcule chaque composante du tenseur des contraintes à partir de la fonction de Airy en prenant en compte la gravité: \[ \left\{ \begin{aligned} \sigma_{11} & = \phi_{,22} - \rho g x_2\\ \sigma_{22} & = \phi_{,11} - \rho g x_2\\ \sigma_{12} & = -\phi_{,12} \end{aligned}\right. \]
- On détermine les constantes de la fonction de Airy à partir des conditions limites. Le tenseur des contraintes obtenu correspond-il à la solution de l’exercice 1 ?
- On calcule le tenseur des déformations à partir du tenseur des contraintes.
- On intègre le déplacement à partir du tenseur des déformations.
- On détermine les 3 constantes d’intégration à partir de blocages sur le déplacement. Le déplacement longitudinal correspond-il à la solution de l’exercice 1 ?